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Como conferir resultados de uma planetária: três casos resolvidos

Barbudenge · 2026-09-21 · Exemplo didático

Revisado em 2026-10-01: adicionado conferidor de velocidades e condição de dentes.

Uma animação pode parecer coerente mesmo quando a entrada, a saída ou o elemento fixo foram escolhidos de forma diferente da conta no papel. Neste exemplo, o mesmo conjunto de dentes será analisado em três configurações. O objetivo é obter resultados que você possa conferir por substituição, antes de usar uma ferramenta de simulação.

1. Dados e hipóteses

Considere uma planetária simples com uma engrenagem solar S de 24 dentes, uma coroa interna R de 72 dentes e satélites P de 24 dentes, sustentados por um porta-satélites C. Adotamos engrenagens cilíndricas de dentes retos, mesmo módulo e geometria de referência sem correção de perfil. A análise é cinemática: não calcula tensões, folgas, atrito ou capacidade de carga.

A primeira verificação é geométrica. Para esse arranjo, os diâmetros primitivos exigem \(N_R=N_S+2N_P\). Portanto, \(72=24+2\times24\). Se o módulo escolhido for 2 mm, os diâmetros primitivos serão 48 mm, 144 mm e 48 mm, respectivamente. A distância do eixo central ao eixo de um satélite será \(\frac{48+48}{2}=48\,\mathrm{mm}\); pelo contato interno, também será \(\frac{144-48}{2}=48\,\mathrm{mm}\).

Essa igualdade é necessária, mas não encerra o projeto. Montar vários satélites requer verificar espaçamento, fase dos dentes, interferência e condições de fabricação. Aqui, queremos apenas um conjunto de dados coerente para estudar velocidades.

2. Uma equação para os três casos

Escolha um sentido positivo comum para todos os eixos, observados do mesmo lado. As rotações n serão dadas em rpm. Para relacionar o sol e a coroa, subtraia de ambos a rotação do braço:

O sinal negativo vem do trem observado com o braço parado: um contato externo entre sol e satélite inverte o sentido; o contato interno entre satélite e coroa não o inverte. Para evitar divisão por zero quando dois elementos giram juntos, use a forma equivalente, sem denominador:

Há três rotações e uma relação independente. É preciso impor duas condições para determinar a terceira: por exemplo, a rotação da entrada e a imobilização de outro elemento. Informar apenas “entrada de 1 200 rpm” não define o funcionamento.

3. Resultados calculados

Coroa fixa: redução de 4:1

Faça \(n_R=0\) e \(n_S=1\,200\,\mathrm{rpm}\). A rotação do braço é \(\frac{24\times1\,200}{96}=300\,\mathrm{rpm}\). Entrada e saída têm o mesmo sentido. Definindo a relação como \(i=\frac{n_{\mathrm{entrada}}}{n_{\mathrm{saída}}}\), temos \(i=\frac{1\,200}{300}=4\).

Confira o resultado na equação original: \(\frac{1\,200-300}{0-300}=\frac{900}{-300}=-3\). A velocidade relativa do sol ao braço é 900 rpm, mas a velocidade absoluta do sol continua sendo 1 200 rpm. Confundir essas duas leituras é uma fonte frequente de erro.

Sol fixo: redução de 4:3

Agora imponha \(n_S=0\) e use a coroa como entrada a \(n_R=1\,200\,\mathrm{rpm}\). O braço gira a \(\frac{72\times1\,200}{96}=900\,\mathrm{rpm}\). A relação entrada/saída é 4/3, aproximadamente 1,333. Os dentes não mudaram; a troca do elemento fixo e da entrada mudou a redução.

Braço fixo: inversão de sentido

Faça \(n_C=0\) e \(n_S=1\,200\,\mathrm{rpm}\). A equação fica \(24\times1\,200+72n_R=0\). Logo, \(n_R=-400\,\mathrm{rpm}\). A coroa gira em sentido oposto ao sol. A relação com sinal é −3; a magnitude da redução é 3:1.

Conferidor: duas velocidades conhecidas

Use a mesma convenção de sinal para sol e coroa. O conferidor resolve a equação de uma planetária simples e verifica se o satélite teria um número inteiro positivo de dentes. O cálculo não analisa carga, interferência ou fases de montagem.

4. Como conferir na simulação

Abra o Engrenarium Web e use um arranjo equivalente, com os mesmos dentes e vínculos. Compare as rotações calculadas, não apenas a impressão visual da animação. Se os nomes ou a orientação do desenho forem diferentes, primeiro associe cada elemento ao sol, à coroa e ao braço deste exemplo.

1. Registre qual elemento recebe a rotação e qual está fixo.
2. Anote a convenção de sinal e a unidade mostrada. Para converter rpm em rad/s, multiplique por \(\frac{2\pi}{60}\).
3. Substitua os três resultados na expressão \(24n_S+72n_R-96n_C\). O resultado deve ser zero, salvo arredondamentos.
4. Repita a análise mudando somente os vínculos, mantendo os números de dentes.

Esse procedimento é uma conferência independente, não um relato de ensaio ou de validação de uma versão específica do programa. Um pequeno resíduo após usar números arredondados deve ser comparado à precisão dos valores exibidos; um erro grande pede revisão das entradas e dos vínculos.

5. O que esse cálculo não permite concluir

Redução não é eficiência. Uma relação 4:1 não informa o rendimento. No modelo ideal, com coroa fixa e sem perdas, a magnitude do torque no braço pode ser quatro vezes a do torque de entrada no sol. Um conjunto real exige considerar perdas e resistência dos componentes; a carcaça também recebe o torque de reação do elemento fixo.

Satélite girando não significa braço girando. O satélite pode girar sobre o próprio eixo enquanto seu centro acompanha o braço. Com o braço fixo, os centros dos satélites param, mas seus corpos ainda podem girar.

Trocar a definição da relação inverte o número. Se a saída é 300 rpm e a entrada 1 200 rpm, saída/entrada vale 0,25 e entrada/saída vale 4. Ambos são compatíveis, desde que a definição acompanhe o resultado.

6. Exercício: duas entradas em movimento

Mantenha os dentes e imponha \(n_S=600\,\mathrm{rpm}\) e \(n_R=-200\,\mathrm{rpm}\). Qual será a rotação do braço? Antes de abrir a resposta, observe que as contribuições do sol e da coroa possuem pesos diferentes na equação.

Base conceitual e próximas leituras

Os números deste guia formam um exemplo didático calculado para esta página. A dedução geral está em Engrenagens planetárias: caso geral e valor do trem; os vínculos de eixo são discutidos em Trens simples e compostos. Para avançar além da planetária simples, veja Planetárias compostas e diferenciais.