Uma subida de came, duas leis: cálculo cicloidal e polinomial 3-4-5
Duas curvas podem produzir o mesmo curso e parecer quase iguais no desenho, mas exigir velocidades, acelerações e transições diferentes. Aqui vamos construir uma comparação que pode ser repetida no papel e usada como referência para interpretar o CrucibleCam. Os números são cálculos didáticos, não medições de um equipamento.
1. Defina o movimento antes de escolher a curva
Considere a subida de um seguidor ao longo de 30 mm durante 90° de rotação da came, a 600 rpm constantes. A subida começa e termina junto a trechos de parada. O restante da volta precisa conter a parada e o retorno; não estamos definindo um ciclo completo nem um perfil pronto para fabricação.
Adotamos curso \(h=30\,\mathrm{mm}\), ângulo da subida \(\beta=\pi/2\,\mathrm{rad}\) e velocidade angular \(\omega=2\pi n/60=20\pi\,\mathrm{rad/s}\). O tempo de subida é \(T=\beta/\omega=0{,}025\,\mathrm{s}\). A variável \(u=\theta/\beta\), de zero a um, mede quanto da subida foi percorrido. O ângulo θ é contado a partir do início desse trecho.
Esta análise prescreve o deslocamento do seguidor. Não considera massa, forças, atrito, elasticidade, raio de base ou raio de rolete. Por isso, ela permite comparar leis cinemáticas, mas não decidir sozinha qual came suporta uma aplicação.
2. Escreva a lei e derive com a unidade correta
Escrevendo \(s=h f(u)\), as duas leis são:
Para a cicloidal, as derivadas em relação a u são \(f'=1-\cos(2\pi u)\), \(f''=2\pi\sin(2\pi u)\) e \(f^{(3)}=4\pi^2\cos(2\pi u)\). Para a polinomial, são \(f'=30u^2-60u^3+30u^4\), \(f''=60u-180u^2+120u^3\) e \(f^{(3)}=60-360u+360u^2\).
A velocidade do seguidor não é simplesmente a derivada por ângulo. Como a rotação é constante, a regra da cadeia dá:
Com h em mm e β em radianos, os resultados são mm/s, mm/s² e mm/s³. Usar 90 na fórmula em lugar de π/2 altera o resultado por um fator grande. Se a rotação variar, aparecem termos adicionais com aceleração angular; esta ferramenta não os calcula.
3. Compare curvas e resultados
As curvas têm deslocamento zero no início, curso completo no fim e meio curso em u=0,5. Nesse ponto, a velocidade normalizada vale 2 na cicloidal e 1,875 na polinomial. Essa pequena diferença no desenho corresponde a uma diferença de 150 mm/s no exemplo.
| Grandeza | Cicloidal | Polinomial 3-4-5 |
|---|---|---|
| Tempo de subida | 0,025 s | 0,025 s |
| Velocidade máxima | 2 400 mm/s | 2 250 mm/s |
| Máxima aceleração em módulo | 301 592,895 mm/s² | 277 128,129 mm/s² |
| Jerk nas extremidades da subida | 75 798 561,800 mm/s³ | 115 200 000 mm/s³ |
Os máximos usados na tabela são analíticos: \(\max f'\) vale 2 e 15/8; \(\max|f''|\) vale 2π e \(10\sqrt{3}/3\), respectivamente. Não são máximos estimados por amostragem do gráfico. O calculador mantém essas mesmas expressões quando os dados mudam.
4. A menor aceleração não resolve toda a escolha
A polinomial reduz a velocidade de pico em 6,25% e a aceleração de pico em aproximadamente 8,11% em relação à cicloidal neste problema. Entretanto, seu jerk nas extremidades é maior. Na parada, deslocamento constante implica velocidade, aceleração e jerk iguais a zero.
As duas leis se conectam à parada sem saltos de deslocamento, velocidade ou aceleração, mas têm um salto de jerk. Portanto, não é correto dizer que qualquer uma delas elimina todas as descontinuidades do diagrama SVAJ. A escolha depende do que se exige das junções e da dinâmica do sistema.
Ao usar o CrucibleCam, configure uma subida equivalente, confira o curso e o ângulo e identifique se a escala representa derivadas por ângulo ou por tempo. Examine as junções com as paradas e com o retorno. Não compare apenas os números máximos: observe também sinais, unidades e continuidade.
Depois, o projeto geométrico precisa verificar ângulo de pressão, curvatura, possibilidade de recorte do perfil e dimensão do rolete quando ele existir. Mesmo um diagrama cinemático suave pode levar a um perfil inviável. Este caderno não calcula essas verificações e não afirma validar uma versão do simulador.
5. Faça uma previsão antes de calcular
Exercício 1: mantenha curso e ângulo, mas passe de 600 para 1 200 rpm. Como mudam tempo, velocidade, aceleração e jerk?
Ver resposta e justificativa
O tempo cai à metade, para 0,0125 s. A velocidade dobra, a aceleração quadruplica e o jerk multiplica por oito, porque dependem de ω, ω² e ω³. Na cicloidal, os picos passam a 4 800 mm/s e 1 206 371,579 mm/s². Aumentar a rotação não altera a curva normalizada de deslocamento.
Exercício 2: mantenha 30 mm e 600 rpm, mas aumente a subida de 90° para 180°. É equivalente a reduzir a rotação pela metade para este trecho?
Ver resposta e limites
Para a cinemática desta subida, sim: a razão ω/β cai à metade. O tempo dobra, v cai à metade, a a um quarto e j a um oitavo. Mas o restante do ciclo fica com menos ângulo disponível. Não é a mesma alteração do ciclo completo e não garante que parada e retorno caibam na nova especificação.
Base do exemplo e próximas leituras
As expressões foram diferenciadas e os valores calculados para este caderno. A base conceitual está em Curvas de deslocamento e diagramas SVAJ. Para entender a geometria, leia Projeto analítico de cames; para trabalhar as junções, prossiga para Correção de descontinuidades no SVAJ.
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