Um came pode ser formado por trechos individualmente corretos e, ainda assim, apresentar saltos nas junções. O CamForge corrige esse problema usando as equações de continuidade para redistribuir os intervalos angulares ou os deslocamentos, sem trocar as leis de movimento escolhidas.

A equação de um trecho da curva SVAJ

Considere o trecho \(i\), iniciado no ângulo \(\theta_i\), com extensão angular \(\beta_i\) e variação de deslocamento \(\Delta L_i\). Introduz-se uma coordenada local adimensional \(u_i\), que sempre varia de 0 a 1:

\[ u_i=\frac{\theta-\theta_i}{\beta_i}, \qquad 0\leq u_i\leq1. \]

Se \(f_i(u)\) é a lei de movimento normalizada, com \(f_i(0)=0\) e \(f_i(1)=1\), o deslocamento no trecho é:

\[ S_i(\theta)=L_i+\Delta L_i\,f_i(u_i), \]

em que \(L_i\) é o deslocamento no início do trecho. A derivação pela regra da cadeia fornece as demais curvas SVAJ:

\[ S_i'(\theta)=\frac{\Delta L_i}{\beta_i}f_i'(u_i), \qquad S_i''(\theta)=\frac{\Delta L_i}{\beta_i^2}f_i''(u_i), \] \[ S_i'''(\theta)=\frac{\Delta L_i}{\beta_i^3}f_i'''(u_i). \]

A primeira, a segunda e a terceira derivadas são, respectivamente, velocidade, aceleração e jerk em relação ao ângulo. Se o came gira com velocidade angular constante \(\omega\), as grandezas no tempo são \(v=\omega S'\), \(a=\omega^2S''\) e \(j=\omega^3S'''\). Portanto, garantir continuidade em \(S'\) e \(S''\) também garante continuidade da velocidade e da aceleração reais.

As condições matemáticas nas junções

Na fronteira entre o trecho \(i\) e o trecho \(i+1\), o fim da primeira função deve coincidir com o início da seguinte. Para continuidade de deslocamento, velocidade e aceleração:

\[ S_i(\theta_i+\beta_i)=S_{i+1}(\theta_{i+1}), \] \[ \frac{\Delta L_i}{\beta_i}f_i'(1) = \frac{\Delta L_{i+1}}{\beta_{i+1}}f_{i+1}'(0), \] \[ \frac{\Delta L_i}{\beta_i^2}f_i''(1) = \frac{\Delta L_{i+1}}{\beta_{i+1}^2}f_{i+1}''(0). \]

A primeira igualdade já é satisfeita quando os deslocamentos são acumulados, isto é, \(L_{i+1}=L_i+\Delta L_i\). As outras duas dependem da forma da curva, de \(\Delta L\) e de \(\beta\). É nelas que aparecem as descontinuidades.

Para encurtar a escrita, definem-se os coeficientes de extremidade:

\[ c^V_{i,0}=f_i'(0),\quad c^V_{i,f}=f_i'(1), \qquad c^A_{i,0}=f_i''(0),\quad c^A_{i,f}=f_i''(1). \]

Esses coeficientes são números conhecidos para cada lei de movimento. Se uma curva exige derivada nula de um lado e a curva vizinha exige valor não nulo do outro, a igualdade não pode ser satisfeita somente pela mudança de \(\beta\) ou \(\Delta L\). Quando zeros e sinais são compatíveis, as equações determinam a correção.

Correção alterando somente β

Nesta opção, todos os \(\Delta L_i\) permanecem fixos. As incógnitas são os intervalos \(\beta_i\). A igualdade de velocidade entre dois trechos fornece diretamente:

\[ \boxed{ \frac{\beta_{i+1}}{\beta_i} = \frac{\Delta L_{i+1}c^V_{i+1,0}} {\Delta L_i c^V_{i,f}} }. \]

Quando a ligação é determinada pela aceleração, os ângulos aparecem ao quadrado:

\[ \boxed{ \frac{\beta_{i+1}}{\beta_i} = \sqrt{ \frac{\Delta L_{i+1}c^A_{i+1,0}} {\Delta L_i c^A_{i,f}} } }. \]

O valor dentro da raiz deve ser positivo. Além disso, se velocidade e aceleração produzirem duas proporções para o mesmo par de trechos, elas devem ser iguais. As proporções válidas permitem escrever todos os ângulos em função de uma única incógnita, por exemplo:

\[ \beta_2=r_2\beta_1,\qquad \beta_3=r_3\beta_1,\qquad \ldots,\qquad \beta_n=r_n\beta_1. \]

O valor de \(\beta_1\) é obtido impondo que os trechos ocupem uma volta completa:

\[ \sum_{i=1}^{n}\beta_i=2\pi\ \text{rad}=360^\circ \quad\Longrightarrow\quad \beta_1=\frac{360^\circ}{1+r_2+r_3+\cdots+r_n}. \]

Portanto, “Alterar somente β” significa resolver as proporções impostas pelas derivadas e, ao mesmo tempo, conservar a soma angular de 360°. Os cursos e as curvas não são modificados.

Correção alterando somente ΔL

Nesta opção, os ângulos \(\beta_i\) permanecem fixos e as incógnitas são os cursos \(\Delta L_i\). Como os denominadores são conhecidos, as condições de continuidade tornam-se equações lineares:

\[ \boxed{ \frac{c^V_{i,f}}{\beta_i}\Delta L_i - \frac{c^V_{i+1,0}}{\beta_{i+1}}\Delta L_{i+1}=0 }, \] \[ \boxed{ \frac{c^A_{i,f}}{\beta_i^2}\Delta L_i - \frac{c^A_{i+1,0}}{\beta_{i+1}^2}\Delta L_{i+1}=0 }. \]

Cada junção acrescenta as equações correspondentes às derivadas não nulas. O ciclo também precisa retornar à posição inicial, logo:

\[ \boxed{\sum_{i=1}^{n}\Delta L_i=0}. \]

Em conjunto, essas igualdades formam um sistema linear homogêneo:

\[ A\,\boldsymbol{\Delta L}=\mathbf 0, \qquad \boldsymbol{\Delta L} = \begin{bmatrix} \Delta L_1 & \Delta L_2 & \cdots & \Delta L_n \end{bmatrix}^{T}. \]

Uma forma equivalente, empregada pelo CamForge, usa os níveis de deslocamento \(L_i\), com \(\Delta L_i=L_{i+1}-L_i\) e \(L_n=L_0\). As equações de continuidade podem então ser reunidas como \(A\mathbf L=\mathbf b\). Como pode existir mais de uma solução, escolhe-se aquela que menos se afasta dos níveis originais \(\mathbf L^{(0)}\):

\[ \min_{\mathbf L}\; \frac{1}{2} \left(\mathbf L-\mathbf L^{(0)}\right)^T W \left(\mathbf L-\mathbf L^{(0)}\right) \qquad \text{sujeito a}\qquad A\mathbf L=\mathbf b. \]

A matriz diagonal \(W\) pondera as alterações para que cursos de ordens de grandeza diferentes sejam comparados de forma equilibrada. Com multiplicadores de Lagrange \(\boldsymbol{\lambda}\), as condições desse mínimo podem ser escritas em um único sistema:

\[ \begin{bmatrix} W & A^T\\ A & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf L\\ \boldsymbol{\lambda} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} W\mathbf L^{(0)}\\ \mathbf b \end{bmatrix}. \]

Os novos valores \(\Delta L_i=L_{i+1}-L_i\) resultam diretamente desses níveis corrigidos. Dessa forma, a solução satisfaz simultaneamente velocidade, aceleração e fechamento, conserva todos os \(\beta_i\) e, entre as respostas possíveis, permanece tão próxima quanto possível do movimento inicialmente especificado.

Em resumo: alterar somente β redistribui o ângulo disponível para os mesmos cursos; alterar somente ΔL redistribui os cursos dentro dos mesmos intervalos angulares. Em ambos os casos, o ponto de partida são as mesmas equações de continuidade.

Exemplo: quatro trechos incompatíveis

Considere um came de disco com seguidor plano e os quatro trechos abaixo. Os valores de \(\Delta L\) estão em milímetros, e a soma dos ângulos já completa uma volta.

TrechoβΔLCurva
130°10 mmC1 — primeira metade cicloidal
290°50 mmVC — velocidade constante
330°10 mmH2 — segunda metade harmônica
4210°−70 mmDH — harmônica dupla de retorno

O deslocamento acumulado passa por 0, 10, 60 e 70 mm antes de retornar a zero. A posição fecha corretamente; o problema está nas derivadas. A velocidade salta nas junções C1–VC e VC–H2, enquanto a aceleração salta na ligação H2–DH.

Perfil inicial do came e curvas de deslocamento, velocidade e aceleração com descontinuidades
Figura 1 — Perfil inicial e diagramas SVA. O deslocamento é contínuo, mas velocidade e aceleração apresentam saltos nas fronteiras dos trechos.

Aplicação das equações ao exemplo

As funções normalizadas dos três primeiros trechos podem ser escritas como:

\[ f_{\mathrm{C1}}(u)=u-\frac{\sin(\pi u)}{\pi}, \qquad f_{\mathrm{VC}}(u)=u, \qquad f_{\mathrm{H2}}(u)=\sin\left(\frac{\pi u}{2}\right). \]

Os coeficientes necessários são:

\[ f_{\mathrm{C1}}'(1)=2,\qquad f_{\mathrm{VC}}'(0)=f_{\mathrm{VC}}'(1)=1, \] \[ f_{\mathrm{H2}}'(0)=\frac{\pi}{2},\qquad f_{\mathrm{H2}}'(1)=0,\qquad f_{\mathrm{H2}}''(1)=-\frac{\pi^2}{4}. \]

Para a harmônica dupla de retorno, os coeficientes na entrada são \(f_{\mathrm{DH}}'(0)=0\) e \(f_{\mathrm{DH}}''(0)=\pi^2\). Com \(\Delta L_4=-70\) mm, a aceleração inicial desse retorno é negativa, como a aceleração final da H2.

Na junção C1–VC, a igualdade de velocidade dá:

\[ \frac{10(2)}{\beta_1}=\frac{50(1)}{\beta_2} \quad\Longrightarrow\quad \beta_2=2{,}5\beta_1. \]

Na junção VC–H2:

\[ \frac{50(1)}{\beta_2}=\frac{10(\pi/2)}{\beta_3} \quad\Longrightarrow\quad \beta_3=\frac{\pi}{10}\beta_2=\frac{\pi}{4}\beta_1. \]

Na junção H2–DH, as velocidades são nulas dos dois lados. A igualdade de aceleração fornece:

\[ \frac{10(-\pi^2/4)}{\beta_3^2} = \frac{-70(\pi^2)}{\beta_4^2} \quad\Longrightarrow\quad \beta_4=\sqrt{28}\,\beta_3. \]

Finalmente, usa-se o fechamento angular:

\[ \beta_1+2{,}5\beta_1+\frac{\pi}{4}\beta_1 +\sqrt{28}\frac{\pi}{4}\beta_1=360^\circ. \]

A solução, arredondada para duas casas decimais, é:

Trechoβ originalβ corrigidoΔL preservadoCurva
130°42,65°10 mmC1
290°106,62°50 mmVC
330°33,49°10 mmH2
4210°177,24°−70 mmDH

Com mais casas decimais, os ângulos são aproximadamente 42,64728°, 106,61821°, 33,49509° e 177,23940°. Os pequenos desvios na soma dos valores da tabela decorrem apenas do arredondamento.

Perfil do came e curvas de deslocamento, velocidade e aceleração após a correção dos ângulos beta
Figura 2 — Resultado após “Alterar somente β”. Velocidade e aceleração passam de um trecho a outro sem saltos, e o perfil do came fica mais suave.

Um gargalo resolvido em poucos instantes

Fazer essa correção à mão exige escrever as derivadas de cada lei, avaliar suas extremidades, montar as igualdades, resolver o fechamento de 360° e então recalcular o perfil. Em ciclos com muitos trechos, essa compatibilização se torna um gargalo entre a definição do movimento e a análise geométrica do came.

O CamForge aplica essas equações de forma quase instantânea e apresenta diretamente uma configuração contínua. O projetista continua decidindo quais movimentos e limites fazem sentido para a máquina, mas deixa de repetir uma longa compatibilização algébrica. Assim, o caminho entre a especificação SVAJ e um perfil de came suave torna-se muito mais rápido.